Question

如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．延長PD交圓的切線BE于點E
（1）判斷直線PD是否為⊙O的切線，并說明理由；
（2）如果∠BED=60°，，求PA的長．
（3）將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF，點F正好在圓O上，如圖2，求證：四邊形DFBE為菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°，進而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直線PD為⊙O的切線；
（2）根據(jù)BE是⊙O的切線，則∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD為⊙O的切線，得∠PDO=90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根據(jù)題意可證得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圓O的直徑，得∠ADB=90°，設∠PBD=x°，則可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，可得出△BDE是等邊三角形．進而證出四邊形DFBE為菱形．
解答：（1）解：直線PD為⊙O的切線（1分）
證明：如圖1，連接OD，∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（2分）
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD
∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA（3分）
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD（4分）
∵點D在⊙O上，∴直線PD為⊙O的切線．（5分）

（2）解：∵BE是⊙O的切線，∴∠EBA=90°
∵∠BED=60°，∴∠P=30°（6分）
∵PD為⊙O的切線，∴∠PDO=90°
在Rt△PDO中，∠P=30°，
∴，解得OD=1（7分）
∴（8分）
∴PA=PO-AO=2-1=1（9分）

（3）（方法一）證明：如圖2，依題意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF（10分）
∵AB是圓O的直徑∴∠ADB=90°
設∠PBD=x°，則∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°
∵四邊形AFBD內(nèi)接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°
即90°+x+2x=180°，解得x=30°
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°（11分）
∵BE、ED是⊙O的切線，∴DE=BE，∠EBA=90°
∴∠DBE=60°，∴△BDE是等邊三角形．
∴BD=DE=BE（12分）
又∵∠FDB=∠ADB-∠ADF=90°-30°=60°∠DBF=2x°=60°
∴△BDF是等邊三角形．∴BD=DF=BF（13分）
∴DE=BE=DF=BF，∴四邊形DFBE為菱形（14分）

（方法二）證明：如圖3，依題意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，
∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠PAD=∠DAF，
∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF（10分）
∴AD=AF，BF∥PD（11分）
∴DF⊥PB∵BE為切線∴BE⊥PB
∴DF∥BE（12分）
∴四邊形DFBE為平行四邊形（13分）
∵PE、BE為切線∴BE=DE
∴四邊形DFBE為菱形（14分）
點評：本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔題，難度較大．