Question

（2013•大慶）如圖所示，AB是半圓O的直徑，AB=8，以AB為一直角邊的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC與半圓交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的垂線DE，垂足為E．
（1）求DE的長；
（2）過點(diǎn)C作AB的平行線l，l與BD的延長線交于點(diǎn)F，求

FD

DB

的值．

Answer 1

分析：（1）先由圓周角定理得出∠ADB=90°，再解Rt△ABD，得出BD=4，然后解Rt△BDE，即可求出DE的長；
（2）先由DE⊥BC，AB⊥BC，得出DE∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出

CD

CA

=

1

4

，則DA=3CD，再證明△FCD∽△BAD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出

FD

DB

的值．

解答：解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，AB=8，
∴BD=

1

2

AB=4．
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=30°，BD=4，
∴DE=

1

2

BD=2；

（2）∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴DE∥AB，
∴

CD

CA

=

DE

AB

=

2

8

=

1

4

，
∴CA=4CD，
∴DA=3CD．
∵CF∥AB，
∴∠FCD=∠BAD，∠DFC=∠DBA，
∴△FCD∽△BAD，
∴

FD

DB

=

CD

DA

=

CD

3CD

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，求出DE的長，進(jìn)而得到DA=3CD是解題的關(guān)鍵．