Question

15．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點和x軸正半軸上的點B，頂點A的坐標(biāo)為（2，-2），直線BC經(jīng)過點B且平行于y軸，拋物線的對稱軸交x軸于點H．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線BC上的一個動點，連接PO，PA，當(dāng)PO+PA的值最小時，求點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，作射線AO，將∠OAH繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得∠O′AH′（邊AO與邊AO′對應(yīng)），當(dāng)∠O′AH′的一邊經(jīng)過點P時，另一邊所在直線與拋物線交于點Q，連接OQ，判斷△OAQ的形狀（按角分類），并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線過原點，頂點為（2，-2）即可確定拋物線解析式；
（2）先確定點A關(guān)于BC的對稱點A′，求出直線AA′的解析式，進一步求出與BC的交點即為點P的坐標(biāo)；
（3）先確定直線AQ的解析式，再聯(lián)立拋物線求出點Q坐標(biāo)，分析即可確定三角形形狀．

解答 解：（1）根據(jù)題意知
$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{-\frac{2a}=2}\\{-2=4a+2b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x．
（2）作點A關(guān)于直線BC的對稱點A′，連接PA′，如圖1所示．

由對稱的特性可知，PA=PA′，
當(dāng)O、P、A′三點共線時，PO+PA′=OA′最�。�
令y=$\frac{1}{2}$x²-2x=0，解得：x₁=0，x₂=4，
∴B點坐標(biāo)為（4，0），直線BC解析式：x=4．
∵A、A′關(guān)于直線BC對稱，且A點坐標(biāo)為（2，-2），
∴A′點坐標(biāo)為（6，-2）．
又∵O點坐標(biāo)為（0，0），
∴直線OA′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x．
∴當(dāng)O、P、A′三點共線時有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{x=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
故當(dāng)PO+PA的值最小時，點P的坐標(biāo)為（4，-$\frac{4}{3}$）．
（3）如圖2，

當(dāng)射線AH′經(jīng)過點P時，求得射線AO'與 x軸交點K的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線AK：y=mx+n，
把點A（2，-2），K（3，0）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-2=2m+n}\\{0=3m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直線AK：y=2x-6，
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，
解得：x=6，或x=2（舍去）
此時y=6，
所以點Q（6，6），
直線AK交 拋物線于點Q，其坐標(biāo)為（6，6），
可求∠QOB=45°，∠BOA=45°，
易證∠QOA=90°，所以△QOA為直角三角形； 
當(dāng)射線AO'經(jīng)過點P時，△QOA為鈍角三角形．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式以及與直線的交點，會求對稱點解決線段和最短問題；會運用旋轉(zhuǎn)解決相關(guān)問題，判斷三角形形狀是解題的關(guān)鍵．