Question

1．如圖，從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ，測得桿頂端點P的仰角是45°，向前走9m到達B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度數；
（2）求該電線桿PQ的高度．（結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）延長PQ交直線AB于點E，根據直角三角形兩銳角互余求得即可；
（2）設PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根據三角函數利用x表示出AE和BE，根據AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函數求得QE的長，則PQ的長度即可求解．

解答 解：延長PQ交直線AB于點E，如圖所示：
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）設PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
則AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°，
∴∠BPE=30°，
在直角△BPE中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x米，
∵AB=AE-BE=9米，
則x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=9，
解得：x=$\frac{27+9\sqrt{3}}{2}$．
則BE=$\frac{9\sqrt{3}+9}{2}$米．
在直角△BEQ中，QE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$米．
∴PQ=PE-QE=$\frac{27+9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$=9+3$\sqrt{3}$（米）．
答：電線桿PQ的高度為（9+3$\sqrt{3}$）米．

點評 本題考查了仰角的定義、解直角三角形、三角函數；運用三角函數求出PE和QE是解決問題的關鍵．