Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，m）（其中m＞0）．
（1）如果S_△AOB=4，求m的值；
（2）當(dāng)m（m＞0）取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，以B為直角頂點(diǎn)，分別以O(shè)B、AB為直角邊分別在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連接EF交y軸于點(diǎn)P，問當(dāng)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP的長是否發(fā)生改變？給出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式求出即可；
（2）過E作EM⊥BF于M，證△EMB≌△AOB，推出OA=EM=4，BM=OB=m=BF，求出BP是中位線，求出BP即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，m）（其中m＞0），
∴OA=4，OB=m，
∵S_△AOB=4，
∴

1

2

×4×m=4，
∴m=2；

（2）BP的長不發(fā)生改變，
證明：過E作EM⊥BF于M，如圖，
∵△ABE和△OBF是等腰直角三角形，
∴OB=BF=m，AB=BE，∠FBO=∠ABE=90°，
∴∠EBF+∠ABO=180°，
∵∠EBF+∠EBM=180°，
∴∠EBM=∠ABO，
在△EMB和△AOB中

∠EBM=∠ABO ∠EMB=∠AOB=90° BE=AB

∴△EMB≌△AOB（AAS），
∴OA=EM=4，BM=OB=m=BF，
∵∠M=90°，∠PBF=90°，
∴BP∥EM，
∵BF=BM，
∴EP=FP，
∴BP=

1

2

EM=

1

2

×4=2，
即BP的長不發(fā)生改變，是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的應(yīng)用，題目是一道比較好的題目，但是有一定的難度．