Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義直線y=ax+b為拋物線y=ax²+bx的特征直線，C（a，b）為其特征點(diǎn)．設(shè)拋物線y=ax²+bx與其特征直線交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）時(shí)，特征點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）若拋物線y=ax²+bx如圖所示，請(qǐng)?jiān)谒�給圖中標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的位置；
（3）設(shè)拋物線y=ax²+bx的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，其特征直線交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），DE∥CF．
①若特征點(diǎn)C為直線y=-4x上一點(diǎn)，求點(diǎn)D及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②若$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2，則b的取值范圍是$-\frac{1}{2}≤b＜0$或$\frac{5}{8}＜b＜4$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B求出直線解析式，得到a、b值，即可寫出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立直線與拋物線解析式，即可求出點(diǎn)A（1，a+b），B（-$\frac{a}$，0），根據(jù)圖象描出兩點(diǎn)即可；
（3）求出點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F、C、E坐標(biāo)及平行四邊形性質(zhì)，即可求出特征點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)已知和已證得：C（a，b），E（0，b），F(xiàn)（1，0），D（-$\frac{2a}$，0），由CEDF平行四邊形性質(zhì)可以得出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，利用已知$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2求出a的取值范圍，進(jìn)而求出b的取值范圍；

解答 解：（1）∵A（0，0），B（1.3），
代入：直線y=ax+b，
解得：a=3，b=0，
∴直線y=3x，拋物線解析式：y=3x²，
∴C（3，0）．
故答案為：（3，0）；  

（2）聯(lián)立直線y=ax+b與拋物線y=ax²+bx，
得：ax²+（b-a）x-b=0，
∴（ax+b）（x-1）=0，
解得：x=-$\frac{a}$，x=1，
∴A（1，a+b），B（-$\frac{a}$，0）．
點(diǎn)A、點(diǎn)B的位置如圖所示；


（3）①如圖，

∵特征點(diǎn)C為直線y=-4x上一點(diǎn)，
∴b=-4a．
∵拋物線y=ax²+bx的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，
∴對(duì)稱軸$x=-\frac{2a}=2$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），
∴DF=1．
∵特征直線y=ax+b交y軸于點(diǎn)E，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，b）．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），
∴CE∥DF．
∵DE∥CF，
∴四邊形DECF為平行四邊形．
∴CE=DF=1．
∴a=-1．
∴特征點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）．
②由已知和已證得：
C（a，b），E（0，b），F(xiàn)（1，0），D（-$\frac{2a}$，0），
∵$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{OE}{OD}$＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜|$\frac{-\frac{2a}}$|＜2，
解得：$\frac{1}{2}$＜|2a|＜2，
∴-1＜a＜-$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{4}$＜a＜1，
∵DE∥CF，CE∥DF，
∴CE=DF，
由題意可得：1+$\frac{2a}$=a，（可以畫出三種圖象，由此得出這個(gè)結(jié)論）
整理得：b=2a²-2a
即：b=2（a-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$
當(dāng)b=2（a-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$時(shí)，
當(dāng)-1＜a＜-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{5}{8}＜b＜4$．
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a＜1時(shí)，可得-$\frac{1}{2}$≤b＜0
綜上所述：$\frac{5}{8}＜b＜4$或-$\frac{1}{2}$≤b＜0．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了新定義特征點(diǎn)、特征線及二次函數(shù)綜合應(yīng)用，題目整體難易適中，對(duì)學(xué)生最大的難點(diǎn)在于對(duì)新定義的理解．適合學(xué)生對(duì)中考?jí)狠S題目訓(xùn)練．