【題目】如圖,在△ABC中,∠C=45°,∠BAC=90°,點A為( ,0)、點B為(0,1),坐標(biāo)系內(nèi)有一動點P,使得以P、A、C為頂點的三角形和△ABC全等,則P點坐標(biāo)為

【答案】(1, +1),(2 ,﹣1),(2 +1, ﹣1)
【解析】解:∵點A坐標(biāo)為( ,0)、點B坐標(biāo)為(0,1),
∴OA= ,OB=1,
∴AB= =2
∵∠BAC=90°,∠ACB=45°,
∴AB=AC=2,BC=2 ,
△ABC與△ACP全等分為三種情況:
①如圖1,延長BA到P,使AB=AP,連接CP,過P作PM⊥x軸于M,

則∠AOB=∠AMP=90°
在△AOB和△AMP中,
,
∴△AOB≌△AMP(AAS),
∴AM=AO= ,MP=OB=1,
故點P的坐標(biāo)為(2 ,﹣1);
②如圖2,過點C作CP⊥AC,使CP=AB,則△ABC≌△CPA,
故∠PAC=∠ACB=45°,AP=BC=2 ,
過P作PM⊥x軸于M,此時∠PAM=15°,在x軸上取一點N,使∠PNM=30°

∴∠PAM=∠APN=15°,即NA=NP,
設(shè)PM=x,則PN=AN=2x,NM= x,
在RT△APM中,∵AP2=AM2+PM2 ,
∴(2 2=(2x+ x)2+x2 , 解得:x= ﹣1,
則AM=OA+2x+ x=2 +1,
故點P的坐標(biāo)為(2 +1, ﹣1);
③如圖3,

作CP⊥AC,使CP=AB,連接BP,則△ABC≌△CPA,
∵∠BAC=∠PCA=90°,且CP=AB,
∴四邊形ABPC是矩形,
∴AB=BP,∠ABP=90°,即∠ABO+∠PBM=90°,
過點P作PM⊥y軸,則∠BPM+∠PBM=90°,
∴∠ABO=∠BPM,
在△AOB和△BMP中,
,
∴△AOB≌△BMP(AAS),
∴BM=OA= ,PM=OB=1,
故點P的坐標(biāo)為(1, +1);
綜上,點P的坐標(biāo)為(1, +1),(2 ,﹣1),(2 +1, ﹣1).

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