Question

【題目】某校組織數學興趣探究活動，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發(fā)現，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE于點P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．

（1）如圖1，當∠PAB＝45°，AB＝6時，AC＝　 　，BC＝　 　；如圖2，當sin∠PAB＝，AB＝4時，AC＝　 　，BC＝　 　；

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想AB2、BC2、AC2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論．

（3）如圖4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，連結DE并延長至G，使得GE＝DE，連結BG，當BG⊥AC于點M時，求GF的長．

Answer 1

【答案】（1）6，6，2，2；（2）AC2+BC2＝5AB2，見解析；（3）GF＝

【解析】

（1）如圖1，由等腰直角三角形的性質得到AP=BP=6，根據三角形中位線的性質和平行線分線段成比例定理可得PE=PF=3，利用勾股定理可得AC和BC的長；如圖2，根據特殊三角函數值可得∠BAP=30°，計算PB和AP的長，同理由中線的性質和勾股定理可得結論；
（2）設PF=m，PE=n則AP=2m，PB=2n，根據勾股定理分別列等式，可得結論；

（3）如圖4，作輔助線，證明四邊形EFCG是平行四邊形，得Q是FG的中點，根據中垂三角形的定義可知：△FCG是中垂三角形，利用（2）中三邊的關系可得GF的長．

（1）解：如圖1，∵AF⊥BE，

∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，

∵∠PAB＝45°，AB＝6，

∴AP＝PB＝6，

如圖1，連接EF，

∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF是△ABC的中位線，

∴EF∥AB．且 EF＝AB，

∴，

∴PE＝PF＝3，

由勾股定理得：AE＝BF＝＝＝3，

∴AC＝BC＝2AE＝6，

如圖2，∵sin∠PAB＝，AB＝4，AF⊥BE，

∴∠PAB＝30°，

∴BP＝AB＝2，AP＝2，

∵AF、BE是△ABC的中線，

∴PE＝PB＝1，PF＝AP＝，

由勾股定理得：AE＝＝＝，

BF＝＝＝，

∴AC＝2AE＝2，BC＝2BF＝2，

故答案為：6，6，2，2；

（2）解：猜想：AB2、BC2、AC2三者之間的關系是：AC2+BC2＝5AB2，

證明：如圖3，設 PF＝m，PE＝n 則AP＝2m，PB＝2n，

在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2①，

在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（）2②，

在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（）2③，

由①得：m2+n2＝，由②+③得：5（ m2+n2）＝，

∴AC2+BC2＝5AB2；

（3）解：如圖4，連接CG，EF，過點F作FN∥BG交CG于點N，FG與AC交于點Q，

∵FN∥BG，BG⊥AC，

∴FN⊥AC，

∵F是BC的中點，

∴N是CG的中點，

∵D、E分別是AB、AC的中點，

∴DE＝FC，DE∥FC，

∵ED＝EG，

∴EG＝FC，EG∥FC，

∴四邊形EFCG是平行四邊形，

∴Q是FG的中點，

∴△FCG是中垂三角形，

∵AB＝4，BC＝2，

∴CG＝EF＝BD＝2，FC＝，

由（2）中結論可知：5FC2＝CG2+FG2，

即5×5＝（2）2+FG2，

∴GF＝．