Question

5．在直角△ABC中，∠ACB=90°，點E在AC邊上，連結(jié)BE，作∠ACF=∠CBE交AB于點F，同時點D在BE上，且CD⊥AB．
（1）已知：如圖，$\frac{AE}{CE}=1$，$\frac{AC}{BC}=1$．
①求證：△ACF≌△BCD．
②求$\frac{CF}{DE}$的值．
（2）若$\frac{AE}{CE}=2$，$\frac{AC}{BC}=2$，則$\frac{CF}{DE}$的值是多少（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)②結(jié)論和圖中條件解答即可．

解答 證明：（1）①∵∠ACB=90°，$\frac{AC}{BC}=1$，CG⊥AB，
由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：CD是∠ACB的角平分線，∠BCD=45°，
在△CAF與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠CBE}\\{∠CAF=∠BCD=45°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD；
②由①可知：∠AFC=∠CDB，
∴∠CFB=∠CDE，
∵∠CBF=∠ECD=45°，
∴△CDE∽△BFC，
∴$\frac{CF}{DE}=\frac{BC}{CE}=2$；
（2）∵$\frac{CF}{DE}=\frac{BC}{CE}$，
∵$\frac{AE}{CE}=2$，$\frac{AC}{BC}=2$，
∴$\frac{CF}{DE}=\frac{3}{2}$．

點評 此題考查三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)進行解答．