Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-ax+a+5=0．
（1）無論a取任何值，該方程的根不可能為x=x₀，寫出x₀的值，并證明．
（2）若a為正整數(shù)，且該方程存在正整數(shù)解，求所有正整數(shù)a的值．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根,奇數(shù)與偶數(shù),約數(shù)與倍數(shù)

專題：

分析：（1）當x=1時，無論a取任何值，等式的左邊的值都是定值6，顯然等式不成立．
（2）由條件可知根的判別式是完全平方數(shù)，故可設(shè)△=（a-2）²-24=t²（t為正整數(shù)），即（a-2+t）（a-2-t）=24．由a和t都是正整數(shù)可得a-2+t和a-2-t同奇同偶，都是非負整數(shù)，且a-2+t＞a-2-t，故a-2+t和a-2-t分別為12、2或6、4，然后解方程組就可求出所有正整數(shù)a的值．

解答：（1）答：x₀=1．
證明：當x=1時，左邊=1-a+a+5=6，右邊=0，
∴左邊≠右邊．
∴該方程的根不可能為x=1．

（2）解：△=（-a）²-4×1×（a+5）=a²-4a-20=（a-2）²-24．
∵方程有正整數(shù)解，
∴可設(shè)△=（a-2）²-24=t²（t為正整數(shù)），
∴（a-2）²-t²=24．
∴（a-2+t）（a-2-t）=24．
∵a和t都是正整數(shù)，
∴a-2+t和a-2-t同奇同偶，都是非負整數(shù)，且a-2+t＞a-2-t，
∴

a-2+t=12 a-2-t=2

或

a-2+t=6 a-2-t=4

．
解得：

a=9 t=5

或

a=7 t=1

．
∴滿足條件的正整數(shù)a的值有9或7．

點評：本題是一道競賽題，涉及到奇數(shù)與偶數(shù)、約數(shù)、整系數(shù)的一元二次方程有正整數(shù)解、解二元一次方程組等知識，有一定的難度．需要說明的是：若整系數(shù)的一元二次方程有正整數(shù)解，則根的判別式必然是整數(shù)的平方；若m和n是整數(shù)，則m+n與m-n同奇同偶．