Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AC與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A、C，連接OA、OC，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，交OC于點(diǎn)D，且△AOB為等腰直角三角形，tan∠COB=

1

4

，S_△OBD=2．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求△OAC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)tan∠COB=

1

4

，設(shè)BD=a，然后根據(jù)S_△OBD=2即可求得a的值，即可求得B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）直線OC的解析式是y=

1

4

x，求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)△OAC的面積=△OAD的面積+△ACD的面積即可求解．

解答：解：（1）設(shè)BD=a，
∵tan∠COB=

1

4

，即

BD

OB

=

1

4

∴OB=4a．
∵S_△OBD=2．即

1

2

•4a•a=2
解得：a=1．
則A的坐標(biāo)是（4，4），
把A代入y=

k

x

，得：k=16．
則反比例函數(shù)的解析式是：y=

16

x

；

（2）∵A的坐標(biāo)是（4，4），
∴△OAD的面積=

1

2

×4×4-2=6．
直線OC的解析式是y=

1

4

x，代入y=

16

x

，解得：x=8，則C的坐標(biāo)是（8，2）．
D的坐標(biāo)是（1，4），則AD=4-1=3．
則△ACD的面積是：

1

2

×3×（8-4）=6．
則△OAC的面積=△OAD的面積+△ACD的面積=6+6=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與三角形的面積的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)以及三角形的面積公式求得A的坐標(biāo)．