Question

如圖，AB為量角器（半圓O）的直徑，△ACD是一塊含30°角的直角三角板，且∠CAD=30°，AC、AD分別交半圓O于點(diǎn)E、F．
（1）求證：△OEF為等邊三角形；
（2）若點(diǎn)E在三角板上的度數(shù)為5cm（即AE=5cm），點(diǎn)E在量角器上度數(shù)為80°（即

BE

=80°），求量角器的直徑．（精確到0.1cm）

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理，易求得∠EOF=60°，又由OE=OF，即可判定：△OEF為等邊三角形；
（2）首先連接EB，由圓周角定理，可得∠AEB=90°，又由

BE

=80°，即可求得∠BAE的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得答案．

解答：（1）證明：∵∠CAD=30°，
∴∠EOF=2∠CAD=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF為等邊三角形；

（2）解：連接EB，
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵

BE

=80°，
∴∠EAB=40°，
在Rt△ABE中，AB=

AE

cos∠EAB

=

5

cos40°

≈6.5（cm）．
答：量角器的直徑約為6.5cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．