Question

13．如圖，△ABC與△BDE為等邊三角形，連接AD，EC，AD中點為M，EC中點為N，BM，BN，MN，求證：△BMN為等邊三角形．

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質得出AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，BD=BE，得出∠ABD=∠CBE，由SAS證明△ABD≌△CBE，得出AD=CE，∠BAM=∠BCN，由已知條件得出AM=CN，由SAS證明△ABM≌△CBN，得出BM=BN（即△BMN是等邊三角形），∠ABM=∠CBN，證出∠MBN=60°，即可得出結論．

解答 證明：∵△ABC與△BDE為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，BD=BE，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABD=∠CBE}&{\;}\\{BD=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAM=∠BCN，
∵AD中點為M，EC中點為N，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，CN=$\frac{1}{2}$CE，
∴AM=CN，
在△ABM和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=CN}&{\;}\\{∠BAM=∠BCN}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴BM=BN（即△BMN是等邊三角形），∠ABM=∠CBN，
∵∠ABM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°，
即∠MBN=60°，
∴△BMN為等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．