Question

如圖，AB是半圓O的直徑，長(zhǎng)為30cm，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2π cm/s的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)近c(diǎn)A立即停止運(yùn)動(dòng)．
（1）利用尺規(guī)作圖，CP與半圓O相切時(shí)點(diǎn)P的位置；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求CP與半圓O相切時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O(shè)C為直徑作圓，與半圓AB的交點(diǎn)就是P，即可作出圖形，如圖所示；
（2）連接OP，由AB的長(zhǎng)求出BC的長(zhǎng)，即可得到OP與OC的長(zhǎng)，由PC為半圓的切線，得到OP與PC垂直，在直角三角形OPC中，根據(jù)余弦函數(shù)定義得到cos∠POC的值，進(jìn)而求出∠POC的度數(shù)，又半徑為OP的長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧BP的長(zhǎng)，即為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程，利用路程除以速度即可求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
解答：解：（1）因?yàn)镺B=BC，所以以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫圓，與半圓交于點(diǎn)P，
所以點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．如圖所示：（2分）

（2）連接OP，
∵AB=30，，∴OP=OB=15，OC=30，（3分）
∵CP與半圓O相切于點(diǎn)P，∴CO⊥OP，（5分）
∴cos∠POC==，∴∠POC=60°，（5分）
則==5π，
所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間=5π÷2π=2.5（s）．
答：CP與半圓O相切時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2.5s．（7分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了尺規(guī)作圖，弧長(zhǎng)公式及切線的性質(zhì)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．