Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)A、C、D均在坐標(biāo)軸上，且AB=5，sinB=$\frac{4}{5}$．
（1）求過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）設(shè)直線AB與（1）中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，P點(diǎn)為拋物線上A、E兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若過(guò)點(diǎn)F（-6，0）的直線L上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)以A，D，M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由菱形ABCD的邊長(zhǎng)和一角的正弦值，可求出OC．OD．OA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定A．C．D三點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式．
（2）該題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定點(diǎn)P的位置，△APE的面積最大，那么S_△APE=$\frac{1}{2}$×AE×h中h的值最大，即點(diǎn)P離直線AE的距離最遠(yuǎn)，那么點(diǎn)P為與直線AB平行且與拋物線有且僅有的唯一交點(diǎn)．
（3）先待定過(guò)點(diǎn)F的直線，再求出解析式，根據(jù)直角三角形的勾股定理列方程，根據(jù)有且只有3個(gè)直角三角形得出△=0，求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=$\frac{4}{5}$；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD-OD=2，即：
A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-3），得：
2×（-3）a=4，a=-$\frac{2}{3}$；
∴拋物線：y=-$\frac{2}{3}$ x²+$\frac{2}{3}$ x+4．
（2）如圖1，設(shè)直線AB：y₁=kx+b，
把A（-2，0）、B（-5，4）坐標(biāo)代入得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{4=-5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴AB：y₁=-$\frac{4}{3}$ x-$\frac{8}{3}$；
∵S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•h，
∴當(dāng)P到直線AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)，S_△ABC最大；
若設(shè)直線L∥AB，則直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)P；
設(shè)直線L：y=-$\frac{4}{3}$ x+m，當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
-$\frac{4}{3}$x+m=-x²+x+4，且△=0；
求得：m=$\frac{11}{2}$，即直線L：y=-$\frac{4}{3}$ x+$\frac{11}{2}$；
解-$\frac{4}{3}$x+$\frac{11}{2}$=-x²+x+4得：x=$\frac{3}{2}$，
y=-$\frac{4}{3}$ x+$\frac{11}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴點(diǎn)P（ $\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

（3）
設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線解析式為：y=cx+d，
把點(diǎn)F（-6.0）代入得：
0=-6c+d，
d=6c，
∴y=cx+6c，
當(dāng)∠AED=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)M（x，cx+6c）
可求AM²=（x+2）²+（cx+6c）²，
DM²=（x-3）²+（cx+6c）²
AD=3-（-2）=5，
根據(jù)題意
AM²+DM²=AD²，
∴（x+2）²+（cx+6c）²+（x-3）²+（cx+6c）²=5²，
整理得：（c²+1）x²+（12c²-1）x+36c²-8=0，
由題意知：△=0，
解得：c=±$\sqrt{\frac{33}{136}}$，
所以滿足條件的直線為：y=$\sqrt{\frac{33}{136}}$x+6$\sqrt{\frac{33}{136}}$，或y=-$\sqrt{\frac{33}{136}}$x-6$\sqrt{\frac{33}{136}}$，
把c=±$\sqrt{\frac{33}{136}}$代入：：（c²+1）x²+（12c²-1）x+36c²-8=0，解得：x=-$\frac{10}{13}$，
此時(shí)y=±$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)：M₅（-$\frac{10}{13}$，$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₂（-$\frac{10}{13}$，-$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$）
當(dāng)x=-2時(shí)，y=±4$\sqrt{\frac{33}{136}}$，當(dāng)x=3時(shí)，y=±9$\sqrt{\frac{33}{136}}$，
所以點(diǎn)M₁（-2，-4$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₄（-2，4$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₆（3，9$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₃（3，-9$\sqrt{\frac{33}{136}}$），
綜上所述當(dāng)直線為：y=$\sqrt{\frac{33}{136}}$x+6$\sqrt{\frac{33}{136}}$時(shí)，有：M₅（-$\frac{10}{13}$，$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₄（-2，4$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₆（3，-9$\sqrt{\frac{33}{136}}$）．
當(dāng)直線為：y=-$\sqrt{\frac{33}{136}}$x-6$\sqrt{\frac{33}{136}}$時(shí)，有：M₁（-2，-4$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₂（-$\frac{10}{13}$，-$\frac{68}{13}$$\sqrt{\frac{33}{136}}$），M₃（3，-9$\sqrt{\frac{33}{136}}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考察菱形性質(zhì)在坐標(biāo)系中的應(yīng)用，三角形面積的最大問(wèn)題，和點(diǎn)的存在性問(wèn)題，難度很大，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并注意分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．