Question

對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙O，給出如下的定義：若⊙O上存在兩個點A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙O的關(guān)聯(lián)點．已知點D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F(xiàn)（2

3

，0）．
（1）當⊙O的半徑為1時，①在點D、E、F這三個點中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是

 

．②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求⊙O的半徑r的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),切線長定理,銳角三角函數(shù)的定義,特殊角的三角函數(shù)值

專題：新定義

分析：（1）若點P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點，則點P到⊙O的兩條切線PA與PB之間的夾角為60°，此時OP=2r，進而得到：若點P是⊙O的關(guān)聯(lián)點，則需點P到圓心O的距離d滿足0≤d≤2r．
①由于OD＜2，OE=2，OF＞2，因此點D、E是⊙O的關(guān)聯(lián)點；②只需考慮點F剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點時所對應的m的值，就可得到m的取值范圍．
（2）由于線段EF任意一點到點O的距離都小于等于OF，因此要使線段EF上的所有點都是⊙O的關(guān)聯(lián)點，只需OF≤2r即可，由OF=2

3

即可得到⊙O的半徑r的取值范圍．

解答：解：（1）由題可知：若點P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點，則點P到⊙O的兩條切線PA與PB之間的夾角為60°，如圖1，

∵PA、PB與⊙O分別相切于點A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=

1

2

∠APB=30°．
∴OP=2OA．
設(shè)⊙O的半徑為r，則點P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點時OP=2r．
所以若點P是⊙O的關(guān)聯(lián)點，則需點P到圓心O的距離d滿足0≤d≤2r．
①過點D作DC⊥x軸，垂足為C，連接OD，如圖2，

∵點D（

1

2

，

1

2

），
∴OC=DC=

1

2

．
∴OD=

2

2

．
∵0＜OD＜2，OE=2，OF＞2，
∴點D、點E是⊙O的關(guān)聯(lián)點，點F不是⊙O的關(guān)聯(lián)點．
故答案為D、E．
②過點O作OH⊥GF，垂足為H，如圖3，

則有OH=

1

2

OF=

3

．
當點P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點時，OP=2．
∵OH＜OP，
∴點P剛好是⊙O的關(guān)聯(lián)點的位置有兩個，記為P₁、P₂．
在Rt△GOF中，tan∠GFO=

OG

OF

=

OG

2 3

=

3

3

，
解得：OG=2．
所以點P₁與點G重合，此時m=0．
過點P₂作P₂M⊥x軸，垂足為M，
∵∠OGF=90°-30°=60°，OP₁=OP₂，
∴∠OP₂P₁=∠OP₁P₂=∠OGP₂=60°．
∴∠P₂OF=30°．
∴cos∠P₂OM=

OM

OP2

=

OM

2

=

3

2

．
∴OM=

3

，此時m=

3

．
∵直線l上的點P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，
∴點P在線段P₁P₂（即GP₂）上，
∴m的范圍是0≤m≤

3

．

（2）由于線段EF任意一點到點O的距離都小于等于OF，
因此要使線段EF上的所有點都是⊙O的關(guān)聯(lián)點，只需OF≤2r，即2

3

≤2r，
則有r≥

3

．
∴⊙O的半徑r的取值范圍是r≥

3

．

點評：本題通過新定義，考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，考查了閱讀理解能力及分析問題解決問題的能力，是一道好題．