Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)B為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)AE上的一點(diǎn)M，分別交AB，BC于點(diǎn)F，G，連BM，此時(shí)∠FBM=∠CBM．

（1）求證：AM是⊙O的切線；

（2）當(dāng)BC=6，OB：OA=1：2 時(shí)，求，AM，AF圍成的陰影部分面積．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定；勾股定理；扇形面積的計(jì)算；相似三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】計(jì)算題．

【分析】（1）連接OM，由AB=AC，且E為BC中點(diǎn)，利用三線合一得到AE垂直于BC，再由OB=OM，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，由已知角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OM與BC平行，可得出OM垂直于AE，即可得證；

（2）由E為BC中點(diǎn)，求出BE的長(zhǎng)，再由OB與OA的比值，以及OB=OM，得到OM與OA的比值，由OM垂直于AE，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，得到此直角邊所對(duì)的角為30度得到∠MAB=30°，∠MOA=60°，陰影部分的面積=三角形AOM面積﹣扇形MOF面積，求出即可．

【解答】解：（1）連結(jié)OM，

∵AB=AC，E是BC中點(diǎn)，

∴BC⊥AE，

∵OB=OM，

∴∠OMB=∠MBO，

∵∠FBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC，

∴OM⊥AE，

∴AM是⊙O的切線；

 

（2）∵E是BC中點(diǎn)，

∴BE=BC=3，

∵OB：OA=1：2，OB=OM，

∴OM：OA=1：2，

∵OM⊥AE，

∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE，

∴==，

∴OM=2，

∴AM==2，

∴S_陰影=×2×2﹣=2﹣π．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，弧，弦及圓心角之間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，扇形面積求法，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．