Question

4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B和D（4，-$\frac{2}{3}$）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標．
（3）如果點P由點A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設(shè)S=PQ²（cm²）
①試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
②當S取$\frac{5}{4}$時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，求出A、B、D的坐標代入即可；
（2）A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標；
（3）①根據(jù)勾股定理和已知條件，可以求得PB、BQ的長度，即可求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式（0≤t≤1）；
②假設(shè)存在點R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形，求出P、Q的坐標，再分為兩種種情況根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出R點的坐標，代入拋物線解析式，看能否使等式成立，能的話，這種情況就存在．

解答 解：（1）據(jù)題意可知：A（0，-2），B（2，-2），C（2，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B和D（4，-$\frac{2}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{-2=4a+2b+c}\\{-\frac{2}{3}=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{1}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2；

（2）點A關(guān)于拋物線的對稱軸x=1的對稱點為B．
作直線BD，與對稱軸的交點即為M．如圖1，
∵B（2，-2）、D（4，-$\frac{2}{3}$），
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{10}{3}$，
當x=1時，y=-$\frac{8}{3}$，
則M（1，-$\frac{8}{3}$）；
（3）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，AP=2t，
∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，
∴S=PQ²=PB²+BQ²，
∴S=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．
②當S=$\frac{5}{4}$時，$\frac{5}{4}$=5t²-8t+4
即20t²-32t+11=0，
解得：t=$\frac{1}{2}$，t=$\frac{11}{10}$＞1（舍）
∴P（1，-2），Q（2，-$\frac{3}{2}$）．
∴PB=1．
若R點存在，分情況討論：
（i）當為平行四邊形PBRQ時，如圖2，這時QR=PB，RQ∥PB，
則R的橫坐標為3，R的縱坐標為-$\frac{3}{2}$，
即R₁（3，-$\frac{3}{2}$），代入y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2，左右兩邊相等，
故這時存在R（3，-$\frac{3}{2}$）滿足題意；
（ii）當為平行四邊形PRBQ時，這時PR=QB，PR∥QB，
則R₂（1，-$\frac{5}{2}$），代入y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2，左右兩邊不相等，
則R₂不在拋物線上
綜上所述，存點一點R，以點P、B、Q、R為頂點的平行四邊形只能是□PQRB．
則R（3，-$\frac{3}{2}$）．
此時，點R（3，-$\frac{3}{2}$）在拋物線y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{3}$x-2上．

點評 本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點，解此題的關(guān)鍵是綜合運用這些知識進行計算．此題綜合性強，是一道難度較大的題目．