Question

（2012•樂山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)C．已知實(shí)數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x²-2x-3=0的兩根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接OD、BD．
①當(dāng)△OPC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②求△BOD 面積的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先解方程得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）①首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當(dāng)OC=OP時(shí)，當(dāng)OP=PC時(shí)，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，當(dāng)OC=PC時(shí)分別求出x的值即可；
②利用S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，進(jìn)而得出最值即可．

解答：解（1）解方程x²-2x-3=0，
得 x₁=3，x₂=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3…（1分）
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
∵拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0）．
∴

-1=a-b -3=9a+3b

解得：

a=- 1 2 b= 1 2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

1

2

x．…（4分）

（2）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
∴

-1=-k+b -3=3k+b.

解得：

k=- 1 2 b=- 3 2

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x-

3

2

．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

3

2

）．…（6分）
∵直線OB過點(diǎn)O（0，0），B（3，-3），
∴直線OB的解析式為y=-x．
∵△OPC為等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
設(shè)P（x，-x），
（i）當(dāng)OC=OP時(shí)，x2+(-x)2=

9

4

．
解得x1=

3 2

4

，x2=-

3 2

4

（舍去）．
∴P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

）．
（ii）當(dāng)OP=PC時(shí)，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，
∴P₂（

3

4

，-

3

4

）．
（iii）當(dāng)OC=PC時(shí)，由x2+(-x+

3

2

)2=

9

4

，
解得x1=

3

2

，x₂=0（舍去）．
∴P₃（

3

2

，-

3

2

）．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

）或P₂（

3

4

，-

3

4

）或P₃（

3

2

，-

3

2

）．…（9分）

②過點(diǎn)D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BH⊥x軸，垂足為H．
設(shè)Q（x，-x），D（x，-

1

2

x2+

1

2

x）．
S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ=

1

2

DQ•OG+

1

2

DQ•GH，
=

1

2

DQ（OG+GH），
=

1

2

[x+(-

1

2

x2+

1

2

x)]×3，
=-

3

4

(x-

3

2

)2+

27

16

，
∵0＜x＜3，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S取得最大值為

27

16

，此時(shí)D（

3

2

，-

3

8

）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積求法等知識(shí)，求面積最值經(jīng)常利用二次函數(shù)的最值求法得出．