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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(2,﹣1),圖象與y軸交于點C(0,3),與x軸交于A、B兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)設拋物線對稱軸與直線BC交于點D,連接AC、AD,求△ACD的面積;

(3)點E為直線BC上的任意一點,過點Ex軸的垂線與拋物線交于點F,問是否存在點E使△DEF為直角三角形?若存在,求出點E坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;(2)S△ACD=2;(3)存在滿足條件的點E,其坐標為(2+,1﹣)或(2﹣,1+)或(1,2)或(4,﹣1).

【解析】試題分析:(1)設頂點式y=ax-22-1a≠0),然后把C點坐標代入求出a即可;
2)通過解方程x2-4x+3=0A10),B3,0),再利用待定系數法求出直線BC解析式為y=-x+3,從而得到D2,1),然后利用SACD=SABC-SABD進行計算即可;
3)易得∠FED≠90°,則DEF為直角三角形,分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況,①當∠DFE=90°F點縱坐標為1,解方程x2-4x+3=1得點E的橫坐標為,再利用點E在直線y=-x+3上可確定E點坐標;②當∠EDF=90°時,先確定直線AD解析式為y=x-1,則可判斷ADBC,所以直線AD與拋物線的交點即為E點,解方程x2-4x+3=x-1E點的橫坐標,然后利用直線BC的解析式確定E點坐標.

1∵拋物線的頂點坐標為(2,﹣1),

∴可設拋物線解析式為y=ax﹣22﹣1a≠0),

C03)代入可得a0﹣22﹣1=3,解得a=1,

∴拋物線解析式為y=x﹣22﹣1,即y=x2﹣4x+3

2)在y=x2﹣4x+3中,令y=0可得x2﹣4x+3=0,解得x=1x=3,

A1,0),B3,0),

設直線BC解析式為y=kx+3,把B3,0)代入得:3k+3=0,解得k=﹣1,

∴直線BC解析式為y=﹣x+3,

由(1)可知拋物線的對稱軸為x=2,此時y=﹣x+3=1,

D2,1),

SACD=SABCSABD=×2×3×2×1=2;

3)由題意知EFy軸,則∠FED=OCB≠90°

∴△DEF為直角三角形,分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況,

①當∠DFE=90°時,即DFx軸,則D、F的縱坐標相同,

F點縱坐標為1,

∵點F在拋物線上,

x24x+3=1,解得x=2±,即點E的橫坐標為,

∵點E在直線y=﹣x+3上,

∴當x=2+時,y=x+3=1;

x=2時,y=x+3=1+,

E點坐標為(2+,1)或(2,1+);

②當∠EDF=90°時,

A1,0),D2,1),

∴直線AD解析式為y=x﹣1,

∵直線BC解析式為y=﹣x+3

ADBC

∴直線AD與拋物線的交點即為E點,

聯(lián)立直線AD與拋物線解析式有x2﹣4x+3=x﹣1,解得x=1x=4,

x=1時,y=﹣x+3=2;當x=4時,y=﹣x+3=﹣1,

E點坐標為(1,2)或(4﹣1),

綜上所述,存在滿足條件的點E,其坐標為(2+,1)或(21+)或12)或(4,1).

練習冊系列答案
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