Question

如圖，在△ABC中，∠C=Rt∠，CD⊥AB于D，在

（1）DC•AB=AC•BC；

（2）；

（3）；

（4）AC+BC＞CD+AB

中正確的個(gè)數(shù)是

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

B
分析：（1）根據(jù)題意可以得到△ACD∽△ABC，然后用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等證明其成立．
（2）用射影定理得到AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，代入等式可以證明其成立．
（3）根據(jù)射影定理有：AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，然后由△ACD∽△CBD，得到CD²=AD•BD，代入等式可以證明其成立，
（4）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，只能得到AC+BC＞AB，不能把三角形的高代進(jìn)去比較大�。�
解答：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的高分直角三角形所得的兩個(gè)三角形與原三角形相似，有：△ACD∽△ABC，∴AC：AB=DC：BC，
∴DC•AB=AC•BC．所以（1）正確．
（2）由射影定理有：AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，∴==．所以（2）正確．
（3）∵AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，
又△ACD∽△CDB，∴CD²=AD•BD
∴+=+====．所以（3）正確．
（4）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，只能得到AC+BC＞AB，不能得到AC+BC＞AB+CD．所以（4）不正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)直角三角形斜邊上的高分直角三角形得到的兩個(gè)三角形與原來(lái)的三角形相似，然后用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，得到對(duì)應(yīng)線段的關(guān)系，代入等式可以證明（1）（2）（3）是正確的．