Question

（2012•石家莊二模）閱讀下列材料：
問題：如圖1，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，PA=

5

，PB=

2

，PC=1，求∠BPC的度數(shù)．
小明同學(xué)的想法是：已知條件比較分散，可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是他將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△BP′A（如圖2），然后連接PP′．
請你參考小明同學(xué)的思路，解決下列問題：
（1）圖2中∠BPC的度數(shù)為

135°

；
（2）如圖3，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點P，且PA=2

13

，PB=4，PC=2，則∠BPC的度數(shù)為

120°

，正六邊形ABCDEF的邊長為

2

7

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′BP=90°，BP′=BP=

2

，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，則△BPP′為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′=

2

PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，則∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；
（2）把△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，則∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH=

1

2

BP′=2，P′H=

3

BH=2

3

，得到P′P=2P′H=4

3

，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°；過A作AG⊥BP′于G點，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到GP′=

1

2

AP′=1，AG=

3

GP′=

3

，然后在Rt△AGB中利用勾股定理即可計算出AB長．

解答：解：（1）如圖2．
∵△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=90°，BP′=BP=

2

，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，
∴△BPP′為等腰直角三角形，
∴PP′=

2

PB=2，∠BP′P=45°，
在△APP′中，AP=

5

，PP′=2，AP′=1，
∵（

5

）²=2²+1²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°
∴∠BP′A=45°+90°=135°，
∴∠BPC=∠BP′A=135°；

（2）如圖3．
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
過B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，
∴BH=

1

2

BP′=2，P′H=

3

BH=2

3

，
∴P′P=2P′H=4

3

，
在△APP′中，AP=2

13

，PP′=4

3

，AP′=2，
∵（2

13

）²=（4

3

）²+2²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠BPC=120°，
過A作AG⊥BP′于G點，
∴∠AP′G=60°，
在Rt△AGP′中，AP′=2，∠GAP′=30°，
∴GP′=

1

2

AP′=1，AG=

3

GP′=

3

，
在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，
AB=

AG2+BG2

=

( 3 )2+52

=2

7

，
即正六邊形ABCDEF的邊長為2

7

．
故答案為135°；120°，2

7

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理與逆定理以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．