Question

1．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AB=AD，E是△ABC外一點，∠B=∠ADE，∠BAD=∠CAE．
（1）求證：AC=AE；
（2）若∠BAD=30°，AB=6，BD=4，DE=9，求△ADC 的面積．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAE，得出∠BAC=∠DAE，由ASA證得△ABC≌△ADE，即可得出結(jié)論；
（2）過點A作AG垂直于BD于G，由AB=AD，得出BG=DG=2，求得AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$，再根據(jù)△ABC≌△ADE，得出DE=BC=9，求出DC，由S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AG即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠B=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC=AE；
（2）解：過點A作AG垂直于BD于G，如圖所示：
∵AB=AD，
∴BG=DG=2，
AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=$4\sqrt{2}$，
∵△ABC≌△ADE，
∴DE=BC=9，
∴DC=BC-BD=9-4=5，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AG=$\frac{1}{2}$×5×$4\sqrt{2}$=$10\sqrt{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強，難度不大，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．