Question

14．已知如圖：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BD平分∠ABC，AE、BD相交于O，OF⊥BD，OH⊥AB．
（1）求證：∠BOE=45°；
（2）求證：BF+AD=AB；
（3）求證：$\frac{CF+CD}{OH}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質(zhì)和角平分線得出∠OAB+∠OBA=45°，再由三角形的外角性質(zhì)得出即可得出結(jié)果；
（2）延長FO交AB于G，由ASA證明△OBF≌△BOG，得出BF=BG，證出∠2=∠1，由AAS證明△OAG≌△OAD，得出AG=AD，即可得出結(jié)論；
（3）作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，則四邊形OMCN是矩形，證出∠MOF=∠NOD，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得出OM=ON=OH，得出四邊形OMCN是正方形，因此CM=CN=OM，由ASA證明△MOF≌△NOD，得出MF=ND，因此CF+CD=CM+CN=2OH，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵AE平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠OAB=∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=45°，
∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°；
（2）證明：延長FO交AB于G，如圖1所示：
∵OF⊥BD，
∴∠BOG=∠BOF=∠FOD=90°，
在△BOF和△BOG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠BOG}&{\;}\\{OB=OB}&{\;}\\{∠OBF=∠OBG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△BOG（ASA），
∴BF=BG，
∵OH⊥AB，
∴∠OBA+∠BGO=90°，
∵∠OBC+∠CDB=90°，
∴∠BGO=∠CDB，
∴∠2=∠1，
在△AOG和△AOD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{∠OAB=∠OAC}&{\;}\\{OA=OA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAG≌△OAD（AAS），
∴AG=AD，
∴BF+AD=BG+AG=AB；
（3）證明：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，如圖2所示：
則四邊形OMCN是矩形，
∴∠MON=90°，
∴∠MOF=∠NOD，
∵O是角平分線AE和BD的交點，
∴OM=ON=OH，
∴四邊形OMCN是正方形，
∴CM=CN=OM，
在△MOF和△NOD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MOF=∠NOD}&{\;}\\{OM=ON}&{\;}\\{∠OMF=∠OND=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MOF≌△NOD（ASA），
∴MF=ND，
∴CF+CD=CM+CN=2OM=2OH，
∴$\frac{CF+CD}{OH}$=$\frac{2OH}{OH}$=2；
即$\frac{CF+CD}{OH}$為定值．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)心性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．