Question

已知關于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足c=2

3

，m²+a²m-8a=0，m²+b²m-8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）本題可先求出方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0的兩個根，然后根據(jù)這兩個根都是正整數(shù)求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后將m²+a²m-8a=0，m²+b²m-8b=0．進行化簡，得出a，b的值．然后再根據(jù)三角形三邊的關系來確定符合條件的a，b的值，進而得出三角形的面積．

解答：解：（1）∵關于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是整數(shù)）．
∵a=m²-1，b=-9m+3，c=18，
∴b²-4ac=（9m-3）²-72（m²-1）=9（m-3）²≥0，
設x₁，x₂是此方程的兩個根，
∴x₁•x₂=

c

a

=

18

m2-1

，
∴

18

m2-1

也是正整數(shù)，即m²-1=1或2或3或6或9或18，
又m為正整數(shù)，
∴m=2；

（2）把m=2代入兩等式，化簡得a²-4a+2=0，b²-4b+2=0
當a=b時，a=b=2±

2

當a≠b時，a、b是方程x²-4x+2=0的兩根，而△＞0，由韋達定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，則a＞0、b＞0．
①a≠b，c=2

3

時，由于a²+b²=（a+b）²-2ab=16-4=12=c²
故△ABC為直角三角形，且∠C=90°，S_△ABC=

1

2

ab=1．
②a=b=2-

2

，c=2

3

時，因2(2-

2

)＜2

3

，故不能構成三角形，不合題意，舍去．
③a=b=2+

2

，c=2

3

時，因2(2+

2

)＞2

3

，故能構成三角形．
S_△ABC=

1

2

×2

3

×

(2+ 2 )2-( 3 )2

=

9+12 2

綜上，△ABC的面積為1或

9+12 2

．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系以及勾股定理等知識點，本題中分類對a，b的值進行討論，并通過計算得出三角形的形狀是解題的關鍵．