Question

15．如圖，△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O為BC的中點(diǎn)，BD，CE交于A，∠BAC=120°，求證：DE=OE．

Answer 1

分析 連接OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD=OE=OB=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBA=∠BDO，∠BCA=∠CEO，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BOE=2∠BCA，∠COD=2∠CBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠CBA+∠BCA=60°，然后求出∠DOE=60°，從而判斷出△DOE是等邊三角形，最后根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等證明即可．

解答 證明：如圖，連接OD，
∵∠BDC=∠BEC=90°，O為BC的中點(diǎn)，
∴OD=OE=OB=OC，
∴∠CBA=∠BDO，∠BCA=∠CEO，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA，
∠COD=∠CBA+∠BDO=2∠CBA，
∵∠BAC=120°，
∴∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°，
∴∠DOE=60°，
∴△DOE是等邊三角形，
∴DE=OE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于求出等邊三角形．