Question

如圖，將邊長為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標系xOy中，F是AB邊上的動點（不與點A，B重合），過點F的反比例函數（，）與OA邊交于點E，過點F作FC⊥x軸于點C，連接EF，OF．

（1）若，求反比例函數的解析式．

（2）在（1）的條件下，試判斷以點E為圓心，EA長為半徑的圓與軸的位置關系，并說明理由．

（3）AB邊上是否存在點F，使得EF⊥AE？若存在，請求出BF:FA的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（x＞0）；（2）圓與y軸相離；（3）存在，BF：AF=1：4.

【解析】

試題分析：（1）設F（x，y），根據條件可得xy=k=；（2）過點E作EG⊥y軸，垂足為G，然后判斷線段EA與EG的大小關系即可；（3）假設存在點F，使AE⊥FE，過E點作EH⊥OB于點H，設OH= m．然后用m表示出AF=8-4m，BF=4m-4，以及點E、F的坐標，利用點E、F在反比例函數上求出m的值m= ，從而可解得BF：AF=（4m-4):（ 8-4m )=1：4.

試題解析：（1）設F（x，y），（x＞0，y＞0），則OC=x，CF=y

∴S△OCF=xy=，即xy=2.∴k=2

∴反比例函數解析式為（x＞0） 3分

（2）該圓與y軸相離，理由如下：

過點E作EH⊥x軸，垂足為H，過點E作EG⊥y軸，垂足為G，

∵△AOB是等邊三角形，

∴OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，

∴

∴EG:OG:OE=1: :2

設OH=m

∴OG=m，OE=2m。

∴E坐標為（m，m），

∵E在反比例圖象上，

∴。

∴m1=，m2=-（舍去）。

∴OE=2，EA=4﹣2，EG=。

∵4﹣2＜，∴EA＜EG。

∴以E為圓心，EA垂為半徑的圓與y軸相離。 7分

（3）存在。

假設存在點F，使AE⊥FE，

過E點作EH⊥OB于點H，設OH= m．

∵△AOB是等邊三角形，

∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°。

∴

∴EG:OG:OE=1: :2

設OH=m

∴OG=m，OE=2m

∴AE=4-2m

∵△AEF是直角三角形，

∴AF=8-4m

∴BF=4m-4

∵△BCF是直角三角形，

∴CB=2m-2

CF=CB=2 m-2

∴F（6-2m, 2 m-2 ）

∵E、F都在雙曲線的圖象上，

∴mXm=（6-2m）X（ 2 m-2 ）

解得：m= ，BF：AF=（4m-4):（ 8-4m )=1：4 12分

（注：用其他辦法的也可得分）

考點：1.反比例函數的性質；2．等邊三角形的性質；3.直角三角形的性質；4.直線與圓的位置關系.