Question

1．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），點D為頂點，連接BC、BD、CD．
（1）求拋物線的表達式；
（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）將該拋物線平移，使它的頂點P與點A關于直線BD對稱，求點P的坐標并寫出平移的方法．

Answer 1

分析 （1）由點B和點C的坐標可求得b、c的值，從而得到拋物線的表達式；
（2）線求得點D的坐標，然后可求得CD、BD、BC，最后依據勾股定理的逆定理可證明△CDB為直角三角形；
（3）如圖2所示．作點A關于直線BD的對稱點P交BD于點M．先求得點A的坐標，然后求得BD的解析式，從而得到直線PA的一次項系數，然后由點A的坐標可求得AP的解析式，將AP的解析式與BD的解析式聯立可求得點M的坐標，然后由中點坐標公式可求得點P的坐標，由點P的坐標可判斷出拋物線平移的方向和距離．

解答 解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經過點B（3，0），點C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：b=-2，C=-3．
∴拋物線的表達式為y=x²-2x-3．
（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：如圖1所示：

∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，-3），
∴OB=OC=3．
在Rt△COB中，∠BOC=90°，
∴BC²=OB²+OC²=18．
過點D作DE⊥x軸與點E．
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4，得頂點D的坐標為（1，-4）．
∴DE=4，OE=1．
∴BE=2．
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴BD²=DE²+BE²=20．
過點C作CF⊥DE于點F，則CF=OE=1，DF=DE-OC=1．
∴DC²=CF²+DF²=2．
∴BD²=BC²+DC²．
∴△BCD是直角三角形．
（3）如圖2所示．作點A關于直線BD的對稱點P交BD于點M．

當y=0時，x²-2x-3=0．解得：x₁=3，x₂=-1．
∴A（-1，0）．
設BD的解析式為y=kx+b．
∵將D（1，-4），B（3，0）代入得；$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=-6，
∴直線BD的解析式為y=2k-6．
∵AP與BD垂直，
∴直線AP的一次項系數為-$\frac{1}{2}$．
設直線AP的解析式為y=-$\frac{1}{2}x$+n．
∵將A（-1，0）代入得：$\frac{1}{2}$+n=0，解得n=-$\frac{1}{2}$，
∴直線AP的解析式為y=-$\frac{1}{2}x$$-\frac{1}{2}$．
∵將y=$-\frac{1}{2}$x$-\frac{1}{2}$與y=2x-6聯立，解得：x=$\frac{11}{5}$，y=-$\frac{8}{5}$．
∴點M的坐標為（$\frac{11}{5}$，-$\frac{8}{5}$）．
由軸對稱的性質可知：M是AP的中點，
∴點P的坐標為（$\frac{27}{5}$，-$\frac{16}{5}$）．
∵拋物線y=（x-1）²-4平移后的頂點坐標為P，
∴拋物線y=x-1）²-4先向右平移$\frac{22}{5}$個單位長度，再向上平移$\frac{4}{5}$個單位長度所得拋物線的頂點與點A關于BD對稱．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的頂點坐標、勾股定理的逆定理的應用、翻折的性質、相互垂直的兩條直線的特點、直線的中點坐標公式，明確相互垂直的兩條直線的一次項系數的乘積為-1是解題的關鍵．