Question

探究性問題：

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，則

1

n(n+1)

=

 

．
試用上面規(guī)律解決下面的問題：
（1） 計算 

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

；
（2） 已知

a-1

+(ab-2)2=0，求

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+…+

1

(a+2010)(b+2010)

的值．

Answer 1

分析：由已知的三個等式總結(jié)出一般性的規(guī)律，
（1）利用總結(jié)的規(guī)律把三項化為六項后，抵消合并，然后利用分式的通分法則化簡即可；
（2）根據(jù)兩非負(fù)數(shù)之和為0得到兩個非負(fù)數(shù)同時為0，求出a與b的值，然后把a與b的值代入到原式中，利用找出的規(guī)律化簡，抵消合并即可求出原式的值．

解答：解：根據(jù)已知的三個等式，總結(jié)規(guī)律得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
（1）原式=

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

=

1

x+1

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+4

=

1

x+1

-

1

x+4

=

3

(x+1)(x+4)

；

（2）由

a-1

+(ab-2)2=0得：a-1=0且ab-2=0，
解得a=1且ab=2，
所以b=2，
則原式=

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+…+

1

(a+2010)(b+2010)

，
=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2011×2012

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故答案為：

1

n

-

1

n+1

．

點評：此題考查學(xué)生會從特殊的式子中找出一般性的規(guī)律，靈活運用找出的規(guī)律化簡求值，掌握兩非負(fù)數(shù)之和為0時的條件，是一道規(guī)律型的中檔題．