Question

如圖，已知扇形的圓心角為2α（定值），半徑為R（定值），分別在圖一、二中作扇形的內接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為

1

2

R2tanα，則按圖二作出的矩形面積的最大值為（　�。�

• A．R²tanα
• B．R2tan

  α

  2

• C．

  1

  2

  R2tan

  α

  2

• D．

  1

  2

  R2tanα

Answer 1

分析：將圖二可拆分成兩個圖一的形式，可以類比得到結論．圖一角是2α，圖二拆分后角是α，故矩形面積的最大值為

1

2

r²tan

α

2

，由此可得結論．

解答：解：圖一，設∠MOQ=x，則MQ=Rsinx
在△OMN中，

MN

sin(2α-x)

=

r

sin(180-2α)

，
∴MN=

rsin(2α-x)sinx

sin2α

∴矩形面積S=

r2sin(2α-x)sinx

sin2α

=

r2

2sin2α

[cos（2x-2α）-cos2α]≤

r2

2sin2α

[1-cos2α]=

1

2

R²tanα
當且僅當x=α時，取得最大值，故圖一矩形面積的最大值為

1

2

R²tanα，圖二可拆分成兩個，
圖一角是2α，圖二拆分后角是α，故根據(jù)圖1得出的結論，可得矩形面積的最大值為

1

2

R²tan

α

2

，
而圖二時由兩個這樣的圖形組成，所以兩個則為R²tan

α

2

．
故答案為：R²tan

α

2

．
故選B．

點評：本題考查扇形內接矩形面積問題，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)兩個圖之間的聯(lián)系，利用已有的結論進行解題．