Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）、C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值．

（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？如存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣3（2）（3）P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）

【解析】

(1)把點(diǎn)B（1，0）、C（0，﹣3）標(biāo)代入拋物線y=ax2+3ax+c求出a,c的值即可;

(2)過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交AC于E,利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,故可得出DE=﹣（m+2）2+3，,再由當(dāng)m=﹣2時(shí)，DE有最大值為3，此時(shí)，S△ACD有最大值，從而可求出結(jié)論；

(3) ①過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1 ,此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形,根據(jù)PC兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等可得出P點(diǎn)坐標(biāo);②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E,交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)AC=PE時(shí),四邊形ACEP為平行四邊形,令P（x，3），由x2+ x﹣3=3，得出x的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo).

（1）解：將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，

解得：a= ，c=﹣3．

∴拋物線的解析式為y= x2+ x﹣3.

（2）解：令y=0，則 x2+ x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0）、B（1，0）.

令x=0，則y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴S△ABC= ×5×3= .

設(shè)D（m， m2+ m﹣3），

過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交AC于E．直線AC的解析式為y=﹣ x﹣3，則E（m，﹣ m﹣3），

DE=﹣ m﹣3﹣（ m2+ m﹣3）=﹣ （m+2）2+3，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，DE有最大值為3，

此時(shí)，S△ACD有最大值為 ×DE×4=2DE=6.

∴四邊形ABCD的面積的最大值為6+ = ，

（3）解：如圖所示：

①過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1 ， 過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1 ， 此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形，

∵C（0，﹣3），

∴設(shè)P1（x，﹣3），

∴ x2+ x﹣3=﹣3，

解得x1=0，x2=﹣3，

∴P1（﹣3，﹣3）；

②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，﹣3），

∴設(shè)P（x，3），

∴ x2+ x﹣3=3，

解得x= 或x= ，

∴P2（ ，3）或P3（ ，3），

綜上所述存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P1（﹣3，﹣3）或P2（ ，3）或P3（ ，3）.