Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0），∠AOB=30°，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個動點(diǎn)，則PA+PC的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根據(jù)勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，
∵Rt△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0），
∴OA=9，
∵∠AOB=30°，
∴tan∠AOB=

3

3

，
∴AB=3

3

，∠B=60°，
∴∠AOB=30°，
∴OB=2AB=6

3

，
由三角形面積公式得：S_△OAB=

1

2

×OA×AB=

1

2

×OB×AM，即9×3

3

=6

3

AM，
∴AM=

9

2

，
∴AD=2×

9

2

=9，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=

1

2

AD=

9

2

，由勾股定理得：DN=

AD2-AN2

=

92-( 9 2 )2

=

9 3

2

，
∵C（2，0），
∴CN=9-

9

2

-2=

5

2

，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=

DN2+CN2

=

( 9 3 2 )2+( 5 2 )2

=

67

，即PA+PC的最小值是

67

．
故答案為：

67

．

點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．