Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）當BD=6，sinC=時，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵AB=BC且D是AC中點，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE為⊙O半徑，
∴AC與⊙O相切．

（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，
∴BC=10，
∴AB=BC=10，
設(shè)⊙O 的半徑為r，則AO=10-r，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=，
∵AC與⊙O相切于點E，
∴OE⊥AC，
∴sinA===，
∴r=，
答：⊙O的半徑是…
分析：（1）連接OE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定定理推出即可；
（2）根據(jù)sinC=求出AB=BC=10，設(shè)⊙O 的半徑為r，則AO=10-r，得出sinA=sinC=，根據(jù)OE⊥AC，得出sinA===，即可求出半徑．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，切線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是求出OE∥BD，解（2）小題的關(guān)鍵是得出關(guān)于r的方程，題型較好，難度適中，用了方程思想．