Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以AP為一邊向上作正方形APDE，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥BC，交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm²．
（1）當(dāng)t=　_________　s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；
（2）當(dāng)t=　_________　s時(shí)，點(diǎn)D在QF上；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）1    （2）     （3）

解析試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在QF上時(shí)，如答圖1所示，此時(shí)AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=DP=AP=t．
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．
故填空答案：．
（3）當(dāng)P、Q重合時(shí)，由（1）知，此時(shí)t=1；
當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí)，如答圖2所示，此時(shí)AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，進(jìn)一步分析可知此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合；
當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t=2．
因此當(dāng)P點(diǎn)在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程可分析如下：
①當(dāng)1＜t≤時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)重合部分為梯形PDGQ．
此時(shí)AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，
∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．
S=S_梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]•t=t²﹣2t；
②當(dāng)＜t＜2時(shí)，如答圖4所示，此時(shí)重合部分為一個(gè)多邊形．
此時(shí)AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．
又DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）．
S=S_{正方形APDE}﹣S_△AQF﹣S_△DMN=AP²﹣AQ•AF﹣DN•DM
=t²﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）
=﹣t²+10t﹣8．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=．


考點(diǎn)：相似形綜合題；勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．
點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及到動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線問(wèn)題．第（1）（2）問(wèn)均涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，列方程即可求出t的值；第（3）問(wèn)涉及動(dòng)線問(wèn)題，是本題難點(diǎn)所在，首先要正確分析動(dòng)線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后再正確計(jì)算其對(duì)應(yīng)的面積S．本題難度較大，需要同學(xué)們具備良好的空間想象能力和較強(qiáng)的邏輯推理能力．