Question

18．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若AD=2CD，菱形的面積是16，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)邊平行得四邊形OCED是平行四邊形，由原矩形對(duì)角線相等且互相平分得OC=OD，所以四邊形OCED是菱形；
（2）連接對(duì)角線，根據(jù)菱形對(duì)角線平分面積得出△OCD的面積是菱形面積的一半=8，設(shè)CD=x，根據(jù)中位線性質(zhì)求出OF的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式列方程解出即可．

解答 證明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OD=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OC=OD，
∴?OCED是菱形；
（2）∵S_菱形=16，
∴S_△OCD=8，
連接OE，交CD于F，則OE⊥CD，
設(shè)CD=x，則AD=2x，
∵AO=OC，DF=FC，
∴OF=$\frac{1}{2}$AD=x，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$CD•OF=$\frac{1}{2}{x}^{2}$=8
x=±4，
∵x＞0，
∴x=4，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x=4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題既考查了菱形的性質(zhì)，也考查了矩形的性質(zhì)，是常考題型，難度不大；需要熟練掌握矩形、菱形的邊、角、對(duì)角線的關(guān)系，不能互相混淆．