Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，OA＝2，OC＝6，連接AC和BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△ACD的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)E是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣5）；（3）△BCE的面積有最大值，點(diǎn)E坐標(biāo)為（，﹣）．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，再將其代入y＝x2+bx+c即可；

（2）先確定BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)AD+CD有最小值，而AC的長(zhǎng)度是定值，故此時(shí)△ACD的周長(zhǎng)取最小值，求出直線BC的解析式，再求出其與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即可；

（3）如圖2，連接OE，設(shè)點(diǎn)E（a，a2﹣a﹣6），由式子S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC即可求出△BCE的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可求出△BCE的面積最大值，并可寫出此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)．

解：（1）∵OA＝2，OC＝6，

∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），

將A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c，

得，

解得，b＝﹣1，c＝﹣6，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣6；

（2）在y＝x2﹣x﹣6中，

對(duì)稱軸為直線x＝，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸x＝對(duì)稱，

∴如圖1，可設(shè)BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)AD+CD有最小值，

而AC的長(zhǎng)度是定值，故此時(shí)△ACD的周長(zhǎng)取最小值，

在y＝x2﹣x﹣6中，

當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣2，x2＝3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣6，

將點(diǎn)B（3，0）代入，

得，k＝2，

∴直線BC的解析式為y＝2x﹣6，

當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣5，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣5）；

（3）如圖2，連接OE，

設(shè)點(diǎn)E（a，a2﹣a﹣6），

S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC

＝×6a+×3（﹣a2+a+6）﹣×3×6

＝﹣a2+a

＝﹣（a﹣）2+，

根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，當(dāng)a＝時(shí)，△BCE的面積有最大值，

當(dāng)a=時(shí),

∴此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（，﹣）．