Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB的頂點A的坐標為（10，0），頂點B在第一象限內，且，sin∠OAB=，
（1）若點C是點B關于x軸的對稱點，求經過O，C，A三點的拋物線的函數表達式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在一點P，使以P，O，C，A為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若將點O，點A分別變換為點Q（-2k，0），點R（5k，0）（k＞1的常數），設過Q，R兩點，且以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y軸的交點為N，其頂點為M，記△QNM的面積為S_△QNM，△QNR的面積為S_△QNR，求S_△QNM：S_△QNR的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了AB的長以及∠OAB的正弦值，可過B作BD⊥x軸于D，即可求出BD和AD的長，進而可得出OD的長，由此可求出B點坐標，也就得出了C點坐標．然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）本題可分三種情況：
①CP∥OA，可將C點縱坐標代入拋物線的解析式中，即可求出P點坐標；然后判斷CP是否與OA相等即可．如果不相等，則四邊形POCA是梯形，反之則不是．
②OP∥AC，先求出直線AC的解析式，由于直線OP與直線AC平行，因此兩函數的斜率相同，再根據O點坐標，可求出直線OP的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點坐標．然后判斷OP是否與AC相等即可．
③AP∥OC，同②．
（3）先根據Q、R的坐標求出拋物線的解析式，然后求出N點和M點的坐標，由于拋物線的開口方向不確定，因此分兩種情況，由于兩種情況解法相同，以開口向上為例說明：
由于三角形QNM的面積無法直接求出，因此可將其面積化為其他圖形面積的和差來求．過M作MG⊥x軸于G，則三角形QNM的面積可以用梯形QNMG的面積+三角形QON的面積-三角形QMG的面積來得出．然后分別表示出三角形QNM和QNR面積，進行比較即可．
解答：解：（1）如圖，
過點B作BD⊥OA于點D．
在Rt△ABD中，
∵AB=3，sin∠OAB=，
∴BD=AB•sin∠OAB=3×=3．
又由勾股定理，
得AD===6．
∴OD=OA-AD=4．
∵點B在第一象限內，
∴點B的坐標為（4，3）．
∴點B關于x軸對稱的點C的坐標為（4，-3）．
設經過O（0，0），C（4，-3），A（10，0）三點的拋物線的函數表達式為y=ax²+bx（a≠0）．
由．
∴經過O，C，A三點的拋物線的函數表達式為y=x²-x．

（2）假設在（1）中的拋物線上存在點P，使以P，O，C，A為頂點的四邊形為梯形．
①∵點C（4，-3）不是拋物線y=x²-x的頂點，
∴過點C作直線OA的平行線與拋物線交于點P₁．
則直線CP₁的函數表達式為y=-3．
對于y=x²-x，令y=-3，則x=4或x=6．
∴，．
而點C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四邊形P₁AOC中，CP₁∥OA，顯然CP₁≠OA．
∴點P₁（6，-3）是符合要求的點．
②若AP₂∥CO．設直線CO的函數表達式為y=k₁x．
將點C（4，-3）代入，
得4k₁=-3．
∴k₁=-．
∴直線CO的函數表達式為y=-x．
于是可設直線AP₂的函數表達式為y=-x+b₁．
將點A（10，0）代入，
得-×10+b₁=0．
∴b₁=．
∴直線AP₂的函數表達式為y=-x+．
由，
即（x-10）（x+6）=0．
∴，．
而點A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
過點P₂作P₂E⊥x軸于點E，則P₂E=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，
得AP₂===20．
而CO=OB=5．
∴在四邊形P₂OCA中，AP₂∥CO，但AP₂≠CO．
∴點P₂（-6，12）是符合要求的點．
③若OP₃∥CA．設直線CA的函數表達式為y=k₂x+b₂．
將點A（10，0），C（4，-3）代入，
得．
∴直線CA的函數表達式為y=x-5．
∴直線OP₃的函數表達式為y=x．
由，
即x（x-14）=0．
∴，．
而點O（0，0），
∴P₃（14，7）．
過點P₃作P₃F⊥x軸于點F，則|P₃F|=7．
在Rt△OP₃F中，由勾股定理，
得OP₃===7．
而CA=AB=3．
∴在四邊形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|CA|．
∴點P₃（14，7）是符合要求的點．
綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點P₁（6，-3），P₂（-6，12），P₃（14，7），
使以P，O，C，A為頂點的四邊形為梯形．

（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下．
①當拋物線開口向上時，則此拋物線與y軸的負半軸交于點N．
可設拋物線的函數表達式為y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a（x-k）²-ak²．
如圖，過點M作MG⊥x軸于點G．
∵Q（-2k，0），R（5k，0），G（k，0），N（0，-10ak²），M（k，-ak²），
∴QO=2k，QR=7k，OG=k，QG=k，ON=10ak²，MG=ak²．
∴S_△QNR=QR•ON=×7k×10ak²=35ak³．
S_△QNM=S_△QNO+S_梯形ONMG-S_△QMG=•QO•O|+（ON+GM）•OG-•QG•GM=×2k×10ak²+×（10ak²+ak²）×k-×k×ak²=ak³．
∴S△QNM：S△QNR=3：20．
②當拋物線開口向下時，則此拋物線與y軸的正半軸交于點N．
同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．
綜上可知，S_△QNM：S_△QNR的值為3：20．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、梯形的判定和圖形面積的求法等知識，要注意判定梯形的過程中不要忘了一組對邊平行而另一組對邊不平行的條件．