Question

已知拋物線y=。

（1）試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）如圖，當該拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x-1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D；
①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形。

Answer 1

解：（1），
∵不管m為何實數(shù)，總有（m-2）²≥0，
∴＞0，
∴無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；
（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=3，
∴m=3，
拋物線的解析式為，頂點C坐標為（3，-2），
解方程組，解得或，所以A的坐標為（1，0）、B的坐標為（7，6），∵x=3時y=x-1=3-1=2，
∴D的坐標為（3，2），
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為E，則E的坐標為（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2，
①假設拋物線上存在一點P使得四邊形ACPD是正方形，則AP、CD互相垂直平分且相等，于是P與點B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故拋物線上不存在一點P使得四邊形ACPD是正方形；
②（Ⅰ）設直線CD向右平移n個單位（n＞0）可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
則直線CD的解析式為x=3+n，直線CD與直線y=x-1交于點M（3+n，2+n），
又∵D的坐標為（3，2），C坐標為（3，-2），
∴D通過向下平移4個單位得到C，
∵C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形，
（�。┊斔倪呅蜟DMN是平行四邊形，
∴M向下平移4個單位得N，
∴N坐標為（3+n，n-2），
又N在拋物線上，
∴，解得（不合題意，舍去），；
（ⅱ）當四邊形CDNM是平行四邊形，∴M向上平移4個單位得N，
∴N坐標為（3+n，n+6），
又N在拋物線上，∴，解得（不合題意，舍去），；
（Ⅱ）設直線CD向左平移n個單位（n＞0）可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
則直線CD的解析式為x=3-n，直線CD與直線y=x-1交于點M（3-n，2-n），
又∵D的坐標為（3，2），C坐標為（3，-2），
∴D通過向下平移4個單位得到C，
∵C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形；
（�。┊斔倪呅蜟DMN是平行四邊形，
∴M向下平移4個單位得N，
∴N坐標為（3-n，-2-n），
又N在拋物線上，
∴，解得（不合題意，舍去），（不合題意，舍去）；
（ⅱ）當四邊形CDNM是平行四邊形，
∴M向上平移4個單位得N，
∴N坐標為（3-n，6-n），
又N在拋物線上，
∴，解得，（不合題意，舍去），
綜上所述，直線CD向右平移2或（）個單位或向左平移（）個單位，可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形。