Question

3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，已知∠DAC=30°，∠DAB=75°，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，連接DE，則∠DEC=（　　）

• A． 10°
• B． 15°
• C． 20°
• D． 25°

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EF⊥BC于H，如圖，先計(jì)算出∠EAM=75°，則AE平分∠EAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得EM=EN，再由CE平分∠ACB得到EM=EH，則EN=EH，于是根據(jù)角平分線定理的逆定理可判斷DE平分∠ADB，則∠1=$\frac{1}{2}$∠ADB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ADB=∠DAC+∠ACB，所以∠DEC=$\frac{1}{2}$∠DAC=15°．

解答 解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于M，EN⊥AD于N，EF⊥BC于H，如圖，
∵∠DAC=30°，∠DAB=75°，
∴∠EAM=75°，
∴AE平分∠EAD，
∴EM=EN，
∵CE平分∠ACB，
∴EM=EH，
∴EN=EH，
∴DE平分∠ADB，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ADB，
∵∠1=∠DEC+∠2，
而∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1=∠DEC+$\frac{1}{2}$∠ACB，
而∠ADB=∠DAC+∠ACB，
∴∠DEC=$\frac{1}{2}$∠DAC=$\frac{1}{2}$×30°=15°．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線定理的逆定理證明DE平分∠ADB．