Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，6），B（4，-2），C（7，

5

2

），過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱．
（1）求證：∠CFE=∠AFE；
（2）在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AFP與△FBC相似？若有，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得AC、FC的解析式，根據(jù)自變量的值，可得函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，根據(jù)SAS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)兩直線平行，可得內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)等量代換，可得∠PAF=∠BFC，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥x軸，交FC于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)N．
∴AN=4．
設(shè)直線AC的解析式為y=k₁x+b₁，

則有

b1=6 7k1+b1= 5 2

，解得

k1=- 1 2 b1=6

．
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x+6
當(dāng)x=4時(shí)，y=-

1

2

×4+6=4
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，4），
∵點(diǎn)F與E關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，-8）
設(shè)直線FC的解析式為y=k₂x+b₂，
則有

4k2+b2=-8 7k2+b2= 5 2

，解得

k2= 7 2 b2=-22

．
∴直線FC的解析式為y=

7

2

x-22
∵AM與x軸平行，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6．
當(dāng)y=6時(shí)，則有

7

2

x-22=6，
解得x=8．
∴AM=8，MN=AM-MN=4，
∴AN=MN，
∵FN⊥AM，
∴∠ANF=∠MNF=90°．
在△ANF和△MNF中，

AN=MN ∠ANF=∠MNF NF=NF

∴△ANF≌△MNF  （SAS）
∴∠CFE=∠AFE．

（2）解：∵C的坐標(biāo)為（7，

5

2

），F(xiàn)坐標(biāo)為（4，-8）
∴CF=

( 5 2 +8)2+(7-4)2

=

3 53

2

又∵A的坐標(biāo)為（0，6），
∴FA=

(6+8)2+42

=2

53

，
又∵BF=6，
∵EF∥AO，則有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠BFC=∠AFE，
∴∠PAF=∠BFC．
①若△AFP₁∽△FCB，
則

P1A

BF

=

AF

CF

，即

P1A

6

=

2 53

3 53 2

，解得P₁A=8．
∴OP₁=8-6=2，
∴P₁的坐標(biāo)為（0，-2）．
②若△AFP₂∽△FBC，
則

P2A

CF

=

AF

BF

，即

P2A

3 53 2

=

2 53

6

，解得P₂A=

53

2

．
∴OP₂=6-

53

2

=-

41

2

，
∴P₂的坐標(biāo)為（0，-

41

2

）．
所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別是P₁（0，-2），P₂（0，-

41

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，（1）待定系數(shù)法求解析式，全等三角形的性質(zhì)得出答案；（2）分類討論P(yáng)A與BF對(duì)應(yīng)邊，PF與CF是對(duì)應(yīng)邊，以防漏掉．