Question

11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，E、F、G、H分別是AB，BC，CD，DA上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）當(dāng)四邊形EFGH的面積為50cm²時(shí)，求tan∠FEB的值；
（3）求四邊形EFGH面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)BE=xcm，則BF=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，得出BF，即可得出結(jié)果；
（3）設(shè)四邊形EFGH面積為S，BE=xcm，則BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=x²+（8-x）²=2（x-4）²+32，S是x的二次函數(shù)，容易得出四邊形EFGH面積的最小值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}&{\;}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}&{\;}\\{AH=BE=CF=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四邊形EFGH是正方形；
（2）解：∵四邊形EFGH的面積為50cm²，
∴EF²=50cm²，
設(shè)BE=xcm，則BF=（8-x）cm，
由勾股定理得：BE²+BF²=EF²，即x²+（8-x）²=50，
解得：x=1，或x=7，
即BE=1cm，或BE=7cm，
當(dāng)BE=1cm時(shí)，BF=7cm，tan∠FEB=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{7}$；
當(dāng)BE=7cm時(shí)，BF=1cm，tan∠FEB=$\frac{BE}{BF}$=7；
（3）解：設(shè)四邊形EFGH面積為S，設(shè)BE=xcm，則BF=（8-x）cm，
根據(jù)勾股定理得：EF²=BE²+BF²=x²+（8-x）²，
∴S=x²+（8-x）²=2（x-4）²+32，
∵2＞0，
∴S有最小值，
當(dāng)x=4時(shí)，S的最小值=32，
∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)與判定、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、二次函數(shù)的最值等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）（3）中，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等和運(yùn)用二次函數(shù)才能得出結(jié)果．