Question

如圖①有兩塊大小不同的等腰直角三角板△ABC和△DCE，連接AD，BE，則：
（1）AD和BE的關(guān)系是

 

（位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）；
（2）如圖②，若△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，（1）中的結(jié)論是否成立

 

；
（3）若△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，②當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，分別畫出兩種情況下的圖形，（1）中結(jié)論是否改變

 

，選擇一種情況加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，根據(jù)SAS證明兩三角形全等即可；根據(jù)全等推出∠DAC=∠EBC，求出∠DAC+∠ADC=90°，推出∠CBE+∠BDF=90°，求出∠BFD=90°即可．
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，等量代換即可證得．
（3）畫出圖形，結(jié)合圖形證明三角形全等證得．

解答：答（1）相等且垂直．
證明：延長AD交BE于F，
∵等腰直角三角形ACB和△DCE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，
在△ADC和△BEC中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=CE

∴△ADC≌△BEC（SAS）．
∴AD=BE
由（1）知：△ADC≌△BEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
∵∠BDF=∠ADC，
∴∠EBC+∠BDF=90°，
∴∠BFD=180°-（∠EBC+∠BDF）=90°，
∴AD⊥BE．
（2）成立．
證明：∵等腰直角三角形ACB和△DCE，
∴BC=AC  CD=CE
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得
∠BCD=90°
∴AD⊥BE
∴BC+CE=AC+CD
即AD=BE
∴AD和BE垂直且相等仍然成立．
（3）①不變，如圖：
連接BE和AD
在△BCE和△ACD中，
∵BC=AC，∠BCE=90°+α，∠ACD=90°+α，
∴∠ACD=∠BCE
CE=CD，
∴△BCE≌△ACD
∴BE=AD，∠1=∠2
∵∠1+∠AGC=90°
∴∠2+∠AGC=90°，
∴∠AFG=90°．
即BE⊥AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答即可