Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使AP+BP最小．
作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，連接B′A交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
如圖2，AD是等邊△ABC的高，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在AD上求作一點(diǎn)P，使BP+PE最�。�
作法：連接CE交AD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．若AB=2，則BP+PE的最小值為

 

；
（2）實(shí)踐運(yùn)用：
如圖3，在正方形ABCD的邊長是4，BE=1，在對角線AC上求作一點(diǎn)P，使BP+EP最小，并求出BP+EP的最小值；
（3）拓展延伸：
如圖4，在四邊形ABCD的對角線AC上求作一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD．（保留作圖痕跡，不必寫出作法）

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）由題意可知，CE的長即為BP+PE的最小值，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可知CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據(jù)CE=

3

BE即可得出結(jié)論；
（2）連接BD，則點(diǎn)D即為點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)P即為所求；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D'，連接D'B，并延長與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

解答：解：（1）CE的長即為BP+PE的最小值．
∵在等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=

3

BE=

3

．
故答案為：

3

；

（2）如圖3，連接BD，則點(diǎn)D即為點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)P即為所求．
∵正方形ABCD的邊長是4，BE=1，
∵AE=3，AD=4，
∴DE=

AE2+AD2

=

32+42

=5；

（3）如圖4．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D'，連接D'B，并延長與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知兩點(diǎn)之間，線段最短是解答此題的關(guān)鍵．