Question

如圖，直線l與半徑為1的⊙O相切于點A，弦BC∥l，D是圓周上一點，∠ADB=30°．
（1）求∠AOB；
（2）求BC．

Answer 1

解：（1）連接OB，
∠AOB=2∠ADB=60°（同弧上的圓心角是圓周角的2倍）．

（2）連接OA交BC于點E，
∵直線l與半徑為1的⊙O相切于點A，（已知），
∴OA⊥l，
又BC∥l，
∴OE⊥BC，
又∠AOB=60°（已求），
∴∠EBO=30°，
所以在直角三角形BEO中，
OE=OB=，
由勾股定理得：
BE=，
又OA是半徑，
∴BC=2BE=．
分析：（1）連接OA，OB的圓心角∠AOB，圓周角∠AOD和圓心角∠AOB所對的弧都是，所以能求出∠AOB=2∠AOD=60°．
（2）連接OA交BC于點E，由已知直線l與半徑為1的⊙O相切于點A，所以OA⊥l，又弦BC∥l，則得OE⊥BC，從而得到直角三角形BEO，OB是半徑為1，∠BOE=60°，所以∠EBO=30°，求出OE，再根據(jù)勾股定理求出BE，垂徑定理求出BC．
點評：此題考查的知識點是切線的性質、垂徑定理及勾股定理的應用，關鍵是要知道同弧上的圓心角是圓周角的2倍，由已知得直角三角形BEO，由勾股定理求得BE，再由垂徑定理求得BC．