Question

已知：如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，-1），B（3，-1），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿著x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于直線OA，垂足為點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如果將△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或頂點(diǎn)Q在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,三角形的面積,等腰直角三角形

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值，即可得解，再把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)P的速度求出OP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出∠AOC=45°，然后判斷出△POQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)O、Q的坐標(biāo)，然后分別代入拋物線解析式，求解即可；
（4）求出點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)的t=1，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)的t=1.5，t=2時(shí)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，然后分①0＜t≤1時(shí)，重疊部分的面積等于△POQ的面積，②1＜t≤1.5時(shí)，重疊部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積的差，③1.5＜t＜2時(shí)，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個(gè)等腰直角三角形的面積分別列式整理即可得解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），
把點(diǎn)A（1，-1），B（3，-1）代入得，

a+b=-1 9a+3b=-1

，
解得

a= 1 3 b=- 4 3

，
∴拋物線解析式為y=

1

3

x²-

4

3

x，
∵y=

1

3

x²-

4

3

x=

1

3

（x-2）²-

4

3

，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-

4

3

）；

（2）∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴OP=2t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，0），
∵A（1，-1），
∴∠AOC=45°，
∴點(diǎn)Q到x軸、y軸的距離都是

1

2

OP=

1

2

×2t=t，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，-t）；

（3）∵△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)O、Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2t，-2t），（3t，-t），
若頂點(diǎn)O在拋物線上，則

1

3

×（2t）²-

4

3

×（2t）=-2t，
解得t=

1

2

（t=0舍去），
∴t=

1

2

時(shí)，點(diǎn)O（1，-1）在拋物線y=

1

3

x²-

4

3

x上，
若頂點(diǎn)Q在拋物線上，則

1

3

×（3t）²-

4

3

×（3t）=-t，
解得t=1（t=0舍去），
∴t=1時(shí)，點(diǎn)Q（3，-1）在拋物線y=

1

3

x²-

4

3

x上．

（4）點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，OP=1×2=2，t=2÷2=1，
點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，OP=3，t=3÷2=1.5，
t=2時(shí)，OP=2×2=4，PC=4-3=1，此時(shí)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
所以，分三種情況討論：
①0＜t≤1時(shí)，S=S_△OPQ=

1

2

×（2t）×

2t

2

=t²，
②1＜t≤1.5時(shí)，S=S_△OP′Q′-S_△AEQ′=

1

2

×（2t）×

2t

2

-

1

2

×（

2

t-

2

）²=2t-1；
③1.5＜t＜2時(shí)，S=S_梯形OABC-S_△BGF=

1

2

×（2+3）×1-

1

2

×[1-（2t-3）]²=-2（t-2）²+

5

2

=-2t²+8t-

11

2

；
所以，S與t的關(guān)系式為S=

t2  (0＜t≤1) 2t-1  (1＜t≤1.5) -2t2+8t- 11 2   (1.5＜t＜2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難點(diǎn)在于（4）隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的變化，根據(jù)重疊部分的形狀的不同分情況討論，作出圖形更形象直觀．