Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OD方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為

 

時(shí)，△PQB為直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,矩形的性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

分析：要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進(jìn)而利用勾股定理分別分析得出PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可；

解答：解：作PG⊥OC于點(diǎn)G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=

2

t，
∴OG=PG=t，
∴點(diǎn)P（t，t），
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根據(jù)勾股定理可得：PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，
①若∠PQB=90°，則有PQ²+BQ²=PB²，
即：2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，
整理得：4t²-8t=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，則有PB²+QB²=PQ²，
∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，
整理得：t²-10t+20=0，
解得：t=5±

5

．
∴當(dāng)t=2或t=5+

5

或t=5-

5

時(shí)，△PQB為直角三角形．
故答案為：2或5+

5

或5-

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵是討論點(diǎn)P的位置，由題意建立方程從而求出符合題意的t值，同時(shí)要數(shù)形結(jié)合進(jìn)行思考．