Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1），連接AO．如果點(diǎn)B是x軸上的一動點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC．當(dāng)C（x，y）在第一象限內(nèi)時(shí)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 解直角三角形得出AO=OD=2，∠AOE=30°，得出∠AOD=60°，然后求出△AOD是等邊三角形，再利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出DF=$\sqrt{3}$CF，進(jìn)而得出函數(shù)解析式即可．

解答 解：如圖，在y軸上截取OD=2，作CF⊥y軸于F，AE⊥x軸于E，連接AD和CD，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1），
∴tan∠AOE=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=OD=2，∠AOE=30°，
∴∠AOD=60°．
∴△AOD是等邊三角形，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，
∴∠CAB-∠DAB=∠OAD-∠DAB，即∠DAC=∠OAB，
在△ADC和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠DAC=∠OAB}\\{AD=AO}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AOB（SAS）．
∴∠ADC=∠AOB=150°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠CDF=30°．
∴DF=$\sqrt{3}$CF．
∵C（x，y）且點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，
∴y-2=$\sqrt{3}$x，
∴y=$\sqrt{3}$x+2（x＞0）．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵．