Question

25、如圖，已知△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB邊上的點(diǎn)，CD=BF，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）△ACD和△CBF全等嗎？請說明理由；
（2）判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)到何處時(shí)，∠DEF=30°．

Answer 1

分析：（1）△ACD和△CBF中，已知的條件有：AC=BC，CD=BF，∠ACD=∠CBF=60°；根據(jù)SAS即可判定兩個(gè)三角形全等．
（2）由（1）的全等三角形知：AD=CF，即DE=CF=AD；因此只需判斷DE與CF是否平行即可．
由（1）的全等三角形，可得∠DAC=∠BCF，而∠BCF+∠ACG=60°，即∠CAD+∠ACG=60°；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠DBC=60°=∠ADE，由此可判定DE∥FC，即可得出四邊形CDEF的形狀．
（3）由于四邊形EDCF是平行四邊形，當(dāng)∠DEF=30°時(shí)，∠DCF=30°；由（2）知：∠DCF=∠DAC，因此∠DAC=30°，即D點(diǎn)移動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)∠DEF=30°．

解答：解：（1）△ACD≌△CBF
證：∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC
∠ACD=∠B=60°
∵CD=BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）
（2）四邊形CDEF為平行四邊形
∵△ACD≌△CBF
∴∠DAC=∠BCF，CF=AD
∵△AED是等邊三角形
∴AD=DE
∴CF=DE①
∴∠ACG+∠BCF=60°
∴∠ACG+∠DAC=60°
∴∠AGC=180°-（∠ACG+∠DAC）=120°
∴∠DGF=∠AGC=120°
∵△AED是等邊三角形
∴∠ADE=60°
∴∠DGF+∠ADE=180°
∴CF∥DE②
綜合①②可得四邊形CDEF是平行四邊形．
（3）當(dāng)點(diǎn)D是BC中點(diǎn)時(shí)，∠DEF=30°．

點(diǎn)評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形及平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度較大．