Question

如圖，對稱軸為直線x＝的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點坐標；

（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）①當四邊形OEAF的面積為24時，請判斷OEAF是否為菱形？

②是否存在點E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）由拋物線的對稱軸是，可設解析式為．

把A、B兩點坐標代入上式，得

        解之，得

故拋物線解析式為，頂點為

（2）∵點在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合

，

∴y<0，即 －y>0,－y表示點E到OA的距離．

∵OA是的對角線，

∴．

因為拋物線與軸的兩個交點是（1，0）的（6，0），所以，自變量的

取值范圍是1＜＜6．

根據題意，當S = 24時，即．

  化簡，得  解之，得

故所求的點E有兩個，分別為E₁（3，－4），E₂（4，－4）．

點E₁（3，－4）滿足OE = AE，所以是菱形；

點E₂（4，－4）不滿足OE = AE，所以不是菱形．

當OA⊥EF，且OA = EF時，是正方形，此時點E的坐標只能是（3，－3）．

而坐標為（3，－3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形．

【解析】（1）已知了拋物線的對稱軸解析式，可用頂點式二次函數通式來設拋物線，然后將A、B兩點坐標代入求解即可．

（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據E點的橫坐標，用拋物線的解析式求出E點的縱坐標，那么E點縱坐標的絕對值即為△OAE的高，由此可根據三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數關系式進而可得出S與x的函數關系式．

①將S=24代入S，x的函數關系式中求出x的值，即可得出E點的坐標和OE，OA的長；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長相等，據此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形．

②如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應該是等腰直角三角形，即E點的坐標為（3，﹣3）將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點．