Question

4．如圖，在等腰梯形OABC中BC∥OA，OC=AB，且A（30，0），C（9，14），點P、Q分別是AO邊、BC邊上的動點，且保持AP=3BQ=2t．
（1）求BC的長度；
（2）四邊形OPQC能否為平行四邊形？若能，求出此時t的值；若不能，說明理由．
（3）若直線PQ將等腰梯形OABC分成面積比為1：2的兩個部分，請求出此時的t值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)解答即可；
（2）設(shè)AP=2t，得出OP=30-2t，利用平行四邊形的性質(zhì)得出CQ=OP，列出關(guān)于t的方程解答即可；
（3）根據(jù)CQ+OP與QB+AP的比值為1：2或2：1兩種情況得出方程解答即可．

解答 解：（1）∵等腰梯形OABC中，A（30，0），C（9，14），
∴BC=30-9-9=12；
（2）設(shè)AP=2t，3BQ=2t，
∴OP=30-2t，CQ=12-$\frac{2}{3}t$，
∴當(dāng)OP=CQ時，四邊形OPQC為平行四邊形，
可得：30-2t=12-$\frac{2}{3}t$，
解得：t=13.5，
答：當(dāng)t=13.5時，四邊形OPQC為平行四邊形；
（3）設(shè)AP=2t，3BQ=2t，
∴OP=30-2t，CQ=12-$\frac{2}{3}t$，
當(dāng)CQ+OP與QB+AP的比值為1：2時，直線PQ將等腰梯形OABC分成面積比為1：2的兩個部分，
可得：30-2t+12-$\frac{2}{3}$t=2（2t+$\frac{2}{3}t$），
解得：t=$\frac{21}{4}$，
當(dāng)CQ+OP與QB+AP的比值為2：1時，直線PQ將等腰梯形OABC分成面積比為1：2的兩個部分，
可得：2（30-2t+12-$\frac{2}{3}$t）=2t+$\frac{2}{3}t$，
解得：t=12，
答：當(dāng)t為$\frac{21}{4}$或12時，直線PQ將等腰梯形OABC分成面積比為1：2的兩個部分．

點評 此題考查四邊形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答，注意（3）中CQ+OP與QB+AP的比值為1：2或2：1兩種情況解答．